.RU

Сложность верификации мультиагентных систем с вероятностными состояниями и программами


СЛОЖНОСТЬ ВЕРИФИКАЦИИ МУЛЬТИАГЕНТНЫХ СИСТЕМ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ И ПРОГРАММАМИ*


Валиев М.К., к.ф.-м.н.

Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

e-mail: valiev@keldysh.ru

Дехтярь М.И., к.ф.-м.н., доцент

Тверской государственный университет

e-mail: Michael.Dekhtyar@tversu.ru


1. ВВЕДЕНИЕ

В этой работе мы продолжаем изучение сложности верификации динамических свойств мультиагентных систем (МАС), состоящих из вероятностных интеллектуальных агентов, которое было начато в наших предыдущих работах [1-3]. В указанных работах вероятностными были каналы связи между агентами и действия. При этом предполагалось, что агенты действуют, имея точную информацию о своих состояниях (базах фактов), и для определения своих действий используют логические программы обычного типа. Здесь мы считаем, что состояния агентов также являются вероятностными, а выбор действий определяется вероятностными логическими программами. Мы определяем операционную семантику для таких обобщенных вероятностных МАС и обобщаем на них конструкцию из вышеуказанных работ, которая по вероятностной Мультиагентная система строит конечную марковскую цепь, моделирующую ее работу. Это позволяет применить [1-3] к рассматриваемым здесь обобщенным вероятностным МАС алгоритмы верификации конечных Марковских цепей из [4, 5].

^ 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МУЛЬТИАГЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ

Имеются различные подходы к определению интеллектуальных агентов [6, 7]. Наше определение вероятностного агента близко к определению, рассмотренному в [6, 8].

Вероятностная мультиагентная система (МАС) A = {A1,...,An} состоит из конечного множества {A1,...,An} взаимодействующих вероятностных интеллектуальных агентов Ai. У каждого агента A системы имеется внутренняя вероятностная база данных (ВБД) IA, содержащая конечное множество аннотированных базисных (ground) атомов вида q(c1,…, ck):p, где q-предикатный символ, c1,…, ck – константы, p[0,1] – степень уверенности в факте q(c1,…, ck) (или вероятность этого факта). Отметим, что множество используемых данной системой констант ограничено. Кроме ВБД у агента A имеется почтовый ящик MsgBoxA, в котором находятся сообщения, полученные им перед текущим шагом от других агентов системы. Текущие содержимые внутренней ВБД и почтового ящика агента A составляют его текущее локальное состояние IMA=.

Агенты из A общаются между собой посредством передачи сообщений вида msg(Sender, Receiver, Msg), где Sender и Receiver – имена агентов (источника и адресата), a Msg – (передаваемый) базисный атом.

Для каждой пары агентов A, B из A имеется канал связи CHAB, в который попадают сообщения, посылаемые агентом A агенту B. Затем из этого канала они попадают в почтовый ящик MsgBoxB. Время пребывания каждого сообщения «в пути» мы будем рассматривать как случайную величину, задаваемую конечным дискретным распределением вероятностей. Через pAB(t) обозначим вероятность того, что B получит сообщение, посланное ему агентом A, ровно через t ≥ 1 шагов (тактов) после его отсылки (t0 будет обозначать минимальное число такое, что pAB(t) =0 для всех t > t0 и всех агентов A и B системы).

Для разных сообщений соответствующие случайные величины будем считать независимыми. Мы предполагаем, что ∑t=1∞ pAB(t)  1. Тогда разность 1 – ∑t=1∞ pAB(t) определяет вероятность того, что сообщение никогда не достигнет адресата, т.е. будет утеряно в канале. Текущее состояние канала CHAB будет включать все сообщения, посланные агентом A агенту B, которые еще не дошли до B, с указанием времени их нахождения в канале. Мы будем обозначать текущее состояние канала так же как и сам канал, т.е.

CHAB =(Msg, t) .

Мы будем также использовать сокращения CHij и pij для CHAiAj и pAiAj, соответственно.

С каждым агентом A связана его база ACTA параметризованных действий вида . Здесь a(X1,…,Xm) – (параметризованное) имя действия, PUTa(X1,…,Xm) – список аннотированных атомов вида q(t1,…,tk):p, где q – k-местный предикат из сигнатуры внутренней ВБД, t1,…,tk – либо константы, либо параметры X1,…,Xm, p – вероятность атома q(t1,…,tk). Это множество определяет изменения внутренней ВБД при выполнении данного действия (это будет уточнено в следующем разделе). Список SENDa(X1,…,Xm) содержит сообщения вида msg(A,B, p(t1,…,tk)), отправляемые другим агентам. Пусть c1,…,cm – константы. Обозначим через PUTa(c1,…,cm) множество базисных аннотированных фактов, получаемых подстановкой c1,…,cm вместо X1,…,Xm в атомы из PUTa(X1,…,Xm). Аналогично определяется и SENDa(c1,…,cm). Базисные атомы вида a(c1,…, cl) назовем базисными именами действий (или просто базисными действиями).

Конкретный выбор действий агента, возможных в данном локальном состоянии, определяется его вероятностной логической программой LPA. В качестве программ LPA мы рассматриваем вероятностные логические программы с предложениями вида

H:p :- L1,...,Ln .

Здесь H – атом действия, т.е. имеет вид a(t1,…,tm), где t1,…,tm – либо константы, либо переменные, p[0,1]; литералы Li – либо аннотированные атомы действий, либо (экстенсиональные) аннотированные атомы вида q(t1,…,tk):[l,u] с предикатами q из сигнатуры внутренней БД и аннотациями [l,u] – подинтервалами отрезка [0,1], либо литералы сообщений вида msg(Sender, A, Msg) или not msg(Sender, A, Msg), либо атомы с сигнатурой из некоторых вычислимых в полиномиальное время встроенных предикатов.

Такие вероятностные логические программы являются частным случаем логических программ с интервальными вероятностями, определенных в работе [9]. В [10] было показано, что в общем случае программы из [9] не имеют естественной просто вычислимой семантики. Можно показать, что для определенного выше варианта вероятностных логических программ такая семантика существует и может быть вычислена за полиномиальное время от размера базисной развертки gr(LPA,state ) программы LPA,state = LPA  IA  MsgBoxA. Обозначим через PermA (= Sem(LPAi,state) ) множество базисных аннотированных имен действий {a1(c1,1,…cm1,1):p1, …, ak(c1,k,…cmk,k): pk} определяемых семантикой программы gr(LPA,state ).

Заметим, что введенные в этой работе вероятностные МАС можно считать обобщением рассмотренных нами ранее систем. А именно, действие по удалению факта из внутренней базы можно моделировать заменой вероятности этого факта на нулевую, а вероятностные действия можно моделировать соответствующим усложнением используемых логических программ.

^ 3. ПОВЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МУЛЬТИАГЕНТНЫХ СИСТЕМ

Определим операционную семантику введенных в предыдущем разделе вероятностных МАС.

Глобальное состояние S системы A включает в себя локальные состояния ее агентов и состояния всех ее (n2-n) каналов:

S = .

Обозначим через SA множество всех глобальных состояний МАС A. Тогда одношаговая семантика МАС A задает отношение S A S’

перехода (за один шаг) на множестве SA, а вероятности, участвующие в определениях агентов A, индуцируют вероятности таких переходов p(S, S’).

Переход S A S’ начинается с работы каналов и формирования нового содержимого почтовых ящиков. Сначала каждый канал увеличивает на 1 счетчик времени у всех находящихся в нем сообщений. Пары (Msg, t) такие, что t>t0, удаляются из CHi,j . Затем для каждой пары (Msg, t)  CHi,j в почтовый ящик MsgBoxj агента Aj с вероятностью pi,j(t) помещается факт msg(Ai, Aj ,Msg). После этого каждый агент Ai  A формирует множество всех допустимых на данном шаге аннотированных базисных действий Permi = Sem(LPi,state). Затем по Permi формируется множество выполняемых агентом Ai действий Obli: для каждого аннотированного атома a(c1,…cm):p из Permi действие a(c1,…cm) помещается в Obli с вероятностью p. Почтовые ящики всех агентов МАС A после этого опустошаются, т.е. полученные сообщения “забываются”. Разумеется, это не ограничивает общности, поскольку агент может все нужные ему данные перенести из почтового ящика в свою базу данных. После этого каждый агент Ai выполняет действия из Obli следующим образом. Обозначим через UPDi множество q(t1,…,tk):p . Тогда новое состояние ВБД Ii получается путем удаления из Ii всех старых фактов из множества UPD_OLDi = для некоторого p q(t1,…,tk):pUPDi и добавления к Ii новых аннотированных фактов из UPDi. И наконец, агент Aj добавляет в каждый канал CHij (i  j) все пары вида (Msg, 0), где Msg является базисным экземпляром некоторого сообщения вида msg(Ai, Aj, p(t1,…,tk)) из множества SENDa(c1,…cm) для некоторого a(c1,…cm) из Obli.

Таким образом, переход S A S’ вычисляется следующим вероятностным алгоритмом:

^ A-шаг ( Вход: S ; Выход: S’ )

(1) FOR EACH Ai, Aj  A (i  j) DO

(2) FOR EACH (Msg, t)  CHi,j DO

(3 ) BEGIN CHi,j := (CHi,j \ {(Msg, t)} ) ;

(4) if t ≤ t0 then CHi,j := (CHi,j \ {(Msg, t+1)} ) ; END

(5) FOR EACH Ai, Aj  A (i  j) DO

(6) FOR EACH (Msg, t)  CHi,j DO с вероятностью pi,j(t)

(7) BEGIN CHi,j := (CHi,j \ {(Msg, t)} ) ;

(8) MsbBoxj := MsbBoxj {msg(Ai, Aj , Msg)}

(9) END;

(10) FOR EACH Ai  A DO

(11) BEGIN Permi := Sem(LPAi,state);

(12) FOR EACH a(c1,…cm):p  Permi DO

(13) помеcтить a(c1,…cm) в Obli с вероятностью p;

(14) UPDi :=p = maxp’;

(15) UPD_OLDi= q(t1,…,tk):p  UPDi;

(16) Ii’:= ((Ii \ UPD_OLDi)  UPDi;

(17) FOR EACH (m  i) DO

(18) CHi,m’ := (CHi,m 

msg(Ai, Am, Ms)  SEND a (c1,…,ck)

Λ a(c1,…ck) Obli );

(19) MsgBoxi := ;

(20) END;

(21) RETURN S’=( Ii’,… ,In’, CH1,2’,…, CHn-1,n’).

Для завершения определения одношаговой семантики A нужно еще дать точное описание для Sem(LPAi,state), чему посвящен следующий раздел.

^ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕМАНТИКИ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ЛОГИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ

В этом пункте мы рассмотрим вычисление оператора Sem(P) для базисной вероятностной логической программы P. Обозначим множество всех базисных (неаннотированных) атомов (эрбранов универсум, включающий как экстенсиональные атомы, так и атомы действий) через U. Интерпретация f: U →[0,1] сопоставляет каждому атому q(c1,…cm)U его вероятность f(q(c1,…cm)). Атом действия a(c1,…cm):p выполнен на интерпретации f, если p ≥ f(a(c1,…cm)). Аннотированный экстенсиональный атом вида q(t1,…,tk ):[l,u] выполнен на интерпретации f, если l ≤ f(q(t1,…,tk )) ≤ u. Выполнимость литералов сообщений вида msg(Sender, A, Msg) или not msg(Sender, A, Msg) определяется относительно текущего состояния MsgBoxA обычным образом. Выполнимость встроенных предикатов определяется их естественной семантикой. Предложение a(c1,…cm):p :– L1,...,Ln выполняется на интерпретации f (для данного MsgBoxA), если при условии, что каждый Li выполняется на f, имеет место неравенство f(a(c1,…cm)) ≥ p. Интерпретация f является моделью P, если на ней выполнены все предложения P. Определим на множестве интерпретаций частичный порядок ≤ следующим образом: f1 ≤ f2  для каждого атома q U f1(q) ≤ f2(q). Модель f программы P назовем минимальной, если для всякой другой модели f1 программы P неверно, что f1 ≤ f. Множество моделей P замкнуто относительно «минимизации».

Лемма 1. Пусть f1 и f2 – модели программы P. Тогда и интерпретация f = min(f1,f2)= q U Λ p=min(f1(q), f2(q)) является моделью P.

Из этой леммы следует существование минимальной модели P. Ее вычисление обеспечивается процедурой вычисления неподвижной точки, аналогичной процедуре из [9].

Теорема 1. Для всякой вероятностной логической программы P (определенного в этой работе типа) существует минимальная модель fminP, которая вычислима за полиномиальное время от gr(P).

Определим Perm = Sem(P) как множество всех аннотированных атомов действий a(c1,…cm):p из fminP.

^ 5.ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ

В соответствии с вышеприведенным определением семантики с МАС A можно связать Марковскую цепь MC(A) с множеством состояний SA и вероятностями переходов pA(S, S’) между ними. Поведение A в начальном глобальном состоянии S0 описывается деревом TA(S0) возможных траекторий этой цепи, начинающихся с S0. Узлы этого дерева помечены глобальными состояниями системы, причем каждый узел, находящийся на (t+1)-ом уровне и помеченный состоянием S’, связан с узлом на t-ом уровне с пометкой S такой, что возможен впереход S A S’ c некоторой положительной вероятностью pA(S, S’). В этом разделе мы опишем алгоритм вычисления pA(S, S’) и оценим его сложность относительно размера системы A.

Заметим, что количество состояний цепи MC(A) в худшем случае может быть экспоненциальной относительно размера A , если A - базисная, и даже двойной экспоненциальной, если A – не базисная (в размер |A| МАС A входят размеры всех сигнатур, множества констант, описаний агентов, включающих их базы действий и базисные развертки программ агентов, и распределений вероятностей).

Отметим, что источниками неопределенности в алгоритме А-шаг являются операторы в строках 5-9 и 13, которые определяют, как сообщения попадают в почтовые ящики агентов с учетом вероятностей времен их пересылки и как выбираются действия агента, выполняемые на текущем шаге. Мы предполагаем, что все вероятностные выборки независимы.

Это позволяет предложить следующую эффективную процедуру вычисления вероятности p(S, S’) перехода S A S’:

Алгоритм Prob(S, S’)

(1) FOR EACH Ai, Aj  A (i  j) DO

(2) BEGIN M[i,j] := (m, t) ;

(3) pi,j :=  pi,j(t)

(4) END;

(5) FOR EACH Aj  A DO

(6) BEGIN MsgBoxj := ;

(7) FOR EACH Ai  A (i  j) DO

(8) MsgBoxj := MsgBoxj  msg( Ai, Aj ,m)

(9) END;

(10) FOR EACH Aj  A DO

(11) BEGIN Permi := Sem(LPA,state );

(12) PermAct :- a(c1,…cm):p  Permi;

(12) pi, := 0 ;

(13) FOR EACH Obl, где Obl - подмножество из PermAct DO

(14) BEGIN UPD := q(t1,…,tk):p ;

(15) UPD_OLD= q(t1,…,tk):p  UPD;

(16) IF (Ii’:= ((Ii \ UPD_OLD)  UPD) Λ (Λ mi ms = ms )

(17) THEN pi, := pi +  pa

(18) END;

(16) p(S, S’) :=  1  i, j  n, j  i *  pi, ;

(18) RETURN p(S, S’).

Теорема 2. Алгоритм Prob(S, S’) вычисляет вероятность p(S, S’) перехода S A S’. Время работы Prob(S, S’) ограничено величиной 2r pol(|A| + |S| +|S’|), где r – максимальное число различных базисных действий одного агента системы, pol – некоторый полином, а |A| + |S| +|S’| – сумма размеров МАС A и размеров исходного и результирующего состояний S и S’.

Заметим, что экспонента 2r возникла из-за перебора всех подмножеств множества PermAct в строке (13) алгоритма. Если ограничить выбор действий для выполнения фиксированным числом, например, самых вероятных действий, то алгоритм становится полиномиальной сложности.

^ 6. ВЕРИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

В предыдущих работах [1-3] нами было показано, как известные результаты [4, 5] о верификации свойств конечных Марковских цепей могут быть использованы для получения оценок сложности верификации для некоторых моделей вероятностных МАС. При этом основой для рассуждений была теорема 1 из [3], обобщением которой является теорема 2 из предыдущего раздела. Аналогичные рассуждения с привлечением теоремы 2 позволяют использовать те же результаты из [4, 5] для распространения оценок из [3] на введенные в этой работе обобщенные вероятностные МАС. При этом так же как и в [3] мы рассматриваем верификацию динамических свойств, задаваемых формулами некоторых вариантов FLTL и FPCTL предикатной логики линейного и ветвящегося времени (использование временных логик для верификации динамических свойств (model checking) описано в [11, 12]).

Так же как и в [3] мы приведем только некоторые из следствий применения результатов из [4, 5] к (обобщенным) вероятностным МАС.

Теорема 3. (1) Существует алгоритм, который проверяет выполнимость FLTL-формулы F на состоянии S базисной вероятностной МАС A в памяти, полиномиальной от |A| и |F|.

(2) Существует алгоритм, вычисляющий вероятность pA(S0, F) для базисной вероятностной МАС A и формулы F за время, экспоненциально зависящее от |A| и |F|.

(3) Существует алгоритм, вычисляющий вероятность pA(S0, F) для любой (небазисной) вероятностной МАС A и формулы F за время, дважды экспоненциально зависящее от |A| и экспоненциальное от | F|.

Теорема 4. (1) Существует алгоритм, который проверяет выполнимость FPCTL-формулы F на состоянии S базисной вероятностной МАС A за время, зависящее экспоненциально от |A| и линейно от |F|.

(2) Существует алгоритм, проверяющий выполнимость FPCTL- формулы F на состоянии S произвольной (небазисной) вероятностной МАС A за время, зависящее дважды экспоненциально от |A| и линейно от |F|.


Литература

  1. Dekhtyar M.I., Dikovsky A.Ja., Valiev M.K. Temporal Verification of Probabilistic Multi-Agent Systems// Pillars of Computer Science: Essays Dedicated to Boris (Boaz) Trakhtenbrot on the Occasion of His 85th Birthday. Lecture Notes in Computer Science, №4800. – Berlin: Springer, 2008. – P.256-265.

  2. Валиев М.К., Дехтярь М.И., Диковский А.Я, О свойствах многоагентных систем с вероятностными каналами связи// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Труды IV-й Международной научно-практической конференции (Коломна, 28-30 мая 2007 г.).– М.: Физматлит, 2007. – С.119-126.

  3. Валиев М.К., Дехтярь М.И. Вероятностные мультиагентные системы: семантика и верификация// Вестник Тверского государственного университета, серия «Прикладная математика». – 2008. –№35(95). – С.9-22.

  4. Courcoubetis C., Yannakakis M. The Complexity of Probabilistic Verification// Communications of ACM. – 1995. – Vol.42, №4. – P.857-907.

  5. Hansson H., Jonsson B. A Logic for Reasoning about Time and Reliability// Formal Aspects of Computing. – 1994. – №6(5). – P.512-535.

  6. Subrahmanian V. S., Bonatti P., Dix J., et al. Heterogeneous Agent Systems. – Cambridge MA: MIT Press, 2000.

  7. Тарасов В.Б. От многоагентных систем к интеллектуальным организациям. – М.: Эдиториал УРСС, 2002.

  8. Dix J., Nanni M., Subrahmanian V.S. Probabilistic Agent Reasoning// ACM Transactions of Computational Logic. – 2000. –№1(2). – P.201-245.

  9. Ng R., Subrahmanian V.S. Probabilistic Logic Programming//Information and Computation. – 1993. – Vol.101, №2. – P.150-201.

  10. Dekhtyar A., Dekhtyar M.I. Revisiting the Semantics of Interval Probabilistic Logic Programs// Proceedings 8th International Conference on Logic Programming and Non-Monotonic Reasoning (LPNMR'05), LNAI. – 2005. – Vol.3662. – P.330-342.

  11. Baier C., Katoen J. Principles of Model Checking. – Cambridge MA: MIT Press, 2008.

  12. Кларк Э.М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ: Model Checking. – М.: МЦНМО, 2002.

  13. Dekhtyar M.I., Dikovsky A.Ja., Valiev M.K. On Сomplexity of Verification of Interacting Agents’ Behavior// Annals of Pure and Applied Logic. – 2006. – №141. – P.336-362.




*Эта работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 07-01-00637-а и 08-01-00241-а).

proizvodstvo-keramicheskogo-kirpicha-3.html
proizvodstvo-metallov-i-ih-splavov.html
proizvodstvo-nikelya-chast-2.html
proizvodstvo-ooo-kronostar-i-ego-vliyanie-na-okruzhayushuyu-sredu.html
proizvodstvo-peredacha-i-raspredelenie-elektroenergii-gaza-i-vodi.html
proizvodstvo-plavlenogo-periklaza-iz-prirodnogo-brusita-chast-4.html
  • institute.bystrickaya.ru/fetisova-dv-21-aprelya-2011-g-vremya-raboti-sekcii-s-13-20-do-16-30-ch-aud-31-7-m.html
  • books.bystrickaya.ru/dokladi1-degtyarenko-gn-vlackij-vv-programma-vserossijskoj-nauchno-prakticheskoj-konferencii-2-4-fevralya-2006-g-orenburg-2006.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/protiv-metodologicheskogo-prinuzhdeniya-stranica-4.html
  • writing.bystrickaya.ru/dopolnitelnaya-informaciya-reformi-stolipina-urok-po-istorii-rossii-hh-vek-na-temu-reforma-stolipina-tihaya.html
  • bukva.bystrickaya.ru/priglashaet-k-uchastiyu-v-konkurse-sposobom-zaprosa-kotirovok-cen.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-xviii-semiozis-na-glavnih-napravleniyah-drugih-naukimeyushih-delo-so-znakovimi-sistemami.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tyuiri-ranta-mejer-c-ever-v-tradicionnih-kulturah-i-professionalnih-komp-ozitorskih-shkolah.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-kursov-povisheniya-kvalifikacii-dlya-rukovoditelej-organov-po-delam-molodezhi-subektov-rossijskoj-federacii-24-28-maya.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/rukovodstvo-polzovatelya-versiya-0-sankt-peterburg-2010-firma-zao-vzlet.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/shet-tlne-oitu-dstemes-ilim-retnde-shet-tlne-oitu-dstemes-ilim-retnde.html
  • institute.bystrickaya.ru/germaniya-chast-4.html
  • student.bystrickaya.ru/1-rol-gosudarstva-v-razvitii-rinka-zemli-63.html
  • write.bystrickaya.ru/filosofskie-raboti-epohi-vozrozhdeniya.html
  • notebook.bystrickaya.ru/ispolnenie-genealogicheskih-zaprosov-v-gosudarstvennom-arhive-samarskoj-oblasti-opit-i-perspektivi.html
  • tests.bystrickaya.ru/materiali-sudebnoj-praktiki-metodicheskie-rekomendacii-po-vipolneniyu-i-oformleniyu-kontrolnih-rabot-obshie-polozheniya.html
  • institut.bystrickaya.ru/tema-2-predstavlenie-celih-chisel-v-kompyutere-arifmeticheskie-dejstviya-nad-celimi-chislami-v-kompyutere.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/predpobednij-drap-petr-lvovich-bograd.html
  • credit.bystrickaya.ru/odobreno-uchebno-metodicheskim-sovetom-yuridicheskogo-fakulteta-gosudarstvo-i-cerkov-uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-specialnosti-030501-yurisprudenciya-moskva-2009g.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/arnold-mindell-snovidenie-v-bodrstvovanii-metodi-24-chasovogo-osoznavaemogo-snovideniya-perevod-s-anglijskogo-aleksandra-kiseleva-nauchnaya-redakciya-k-filos-n-vladimira-majkova-stranica-3.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-disciplini-organizacionnoe-povedenie-dlya-napravleniya-080200-68-menedzhment-dlya-magisterskih-programm-upravlenie-chelovecheskimi-resursami-innovacionnij-menedzhment-podgotovki-magistra.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prezentaciya-na-multimedia-s-giperssilkoj-kartochki-s-ballami-gramoti-knigi-dlya-vistavki.html
  • letter.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-vipolneniyu-laboratornih-rabot-specialnost-150411-montazh-i-tehnicheskaya-ekspluataciya-promishlennogo-oborudovaniya-po-otraslyam.html
  • literature.bystrickaya.ru/beznalichnij-raschet-chast-5.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/literatura-i-istochniki-otchet-o-probnom-provedenii-zanyatij-i-metodicheskie-ukazaniya-po-organizacii-i-provedeniyu-speckursa-vvedenie.html
  • testyi.bystrickaya.ru/4-o-dobrodetelyah-i-strastyah1-dobrotolyubie-tom-2.html
  • bukva.bystrickaya.ru/osnovnie-ponyatiya-informatiki-chast-5.html
  • notebook.bystrickaya.ru/itogi-respublikanskih-konkursov-ekolider-ichelovek-i-priroda-pobediteli-i-laureati-konkursa-ekolider.html
  • books.bystrickaya.ru/chast-ii-luna-nad-pustinej-bulat-okudzhava-prelestnie-priklyucheniya.html
  • school.bystrickaya.ru/diplomnaya-rabota-po-napravleniyu-stranica-2.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-tridcat-devyataya-kniga-pervaya.html
  • literature.bystrickaya.ru/ekzamen-kolichestvo-kreditov-5.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zhitie-prepodobnogo-sergiya-radonezhskogo-v-literature-i-zhivopisi.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-viii-meditativnie-pozi-satyananda-svami-tantricheskie-meditacii.html
  • bukva.bystrickaya.ru/pensiya-dannie-upravleniya-pensionnogo-fonda-rossii-v-teguldetskom-rajone.html
  • bystrickaya.ru/zasedanie-neglasnogo-komiteta.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.